1. 证明 $P(T < \infty) = 1$.

由 $ET < \infty$, 其余项满足

于是

从而 $\nlim P\Bqty{T \ge n} = 0$, 即 $\nlim P\Bqty{T < \infty} = 1$.

2. 证明 $E\vqty{X_T} < \infty$.

由于 $\Bqty{Y_k, k \ge 1}$ 独立同分布, 从而 $\Bqty{\vqty{Y_k - \mu}, k \ge 1}$, 于是由 Schwartz 不等式,

3. 证明 $\nlim E\vqty{X_n I_\Bqty{T > n}} = 0$.

由 Schwartz 不等式,

4. 由定理 4.3.2, 有

证毕.